Matematică — Clasa a IX-a

Mulțimile de numere se includ una în alta: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Operațiile cu mulțimi: reuniunea A ∪ B (elementele din cel puțin una), intersecția A ∩ B (elementele comune), diferența A \ B și complementara. Cardinalul unei mulțimi finite este numărul ei de elemente.

O propoziție este un enunț care este fie adevărat, fie fals. Conectorii logici: negația (non p), conjuncția (p și q), disjuncția (p sau q), implicația (p ⟹ q) și echivalența (p ⟺ q). Implicația este falsă doar când premisa este adevărată și concluzia falsă.

Cuantificatorii: ∀ („oricare ar fi”) și ∃ („există”). Metoda inducției matematice demonstrează propoziții despre toate numerele naturale: verificăm primul caz, apoi arătăm că dacă propoziția e adevărată pentru n, este adevărată și pentru n + 1.

Funcția de gradul I, f : R → R, f(x) = ax + b cu a ≠ 0, are graficul o dreaptă. Este strict crescătoare pentru a > 0 și strict descrescătoare pentru a < 0; semnul lui f se schimbă în x = −b/a.

Tabelul de semn: f(x) are semn contrar lui a înainte de rădăcina −b/a și semnul lui a după. Cu acest tabel rezolvăm inecuații de gradul I și studiem poziția dreptei față de axa Ox.

Două drepte y = a₁x + b₁ și y = a₂x + b₂ sunt paralele dacă a₁ = a₂ și b₁ ≠ b₂; ele se intersectează într-un punct unic dacă a₁ ≠ a₂ — punctul se află rezolvând sistemul format de cele două ecuații.

Funcția f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, are graficul o parabolă. Dacă a > 0 parabola „ține apa” (vârf în jos, punct de minim), dacă a < 0 este întoarsă (punct de maxim). Vârful parabolei este V(−b/2a, −Δ/4a).

Rădăcinile se obțin cu formula x = (−b ± √Δ)/(2a), unde Δ = b² − 4ac. Relațiile lui Viète leagă rădăcinile de coeficienți: x₁ + x₂ = −b/a și x₁ · x₂ = c/a.

Semnul funcției: între rădăcini semn contrar lui a, în afara rădăcinilor semnul lui a; dacă Δ < 0, f are peste tot semnul lui a. Acest tabel de semn rezolvă inecuațiile de gradul al II-lea.

Vectorul este un segment orientat, caracterizat de direcție, sens și modul (lungime). Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, același sens și același modul. Vectorul de poziție al unui punct A este OA.

Adunarea vectorilor se face cu regula triunghiului sau a paralelogramului: AB + BC = AC (relația lui Chasles). Înmulțirea cu un scalar t schimbă modulul (și sensul, dacă t < 0). Doi vectori sunt coliniari dacă unul este scalar înmulțit cu celălalt.

În reperul cartezian, vectorul se descompune după versorii i și j: v = xi + yj, cu modulul |v| = √(x² + y²). Vectorii ne ajută să demonstrăm coliniaritatea punctelor, paralelismul și proprietăți ale mijloacelor de segmente.

În triunghiul dreptunghic: sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă pe ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată pe ipotenuză, iar tangenta este cateta opusă pe cea alăturată. Valori uzuale: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1.

În orice triunghi cu laturile a, b, c: teorema sinusurilor — a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R = raza cercului circumscris); teorema cosinusului — a² = b² + c² − 2bc·cos A, o generalizare a teoremei lui Pitagora.

Aria triunghiului se calculează și trigonometric: A = (b · c · sin A)/2, sau cu formula lui Heron: A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), unde p este semiperimetrul. Identitatea fundamentală: sin²x + cos²x = 1.