Matematică — Clasa a XII-a

O primitivă a funcției f este o funcție F cu F' = f. Mulțimea tuturor primitivelor se numește integrala nedefinită: ∫f(x)dx = F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară — derivarea și integrarea sunt operații inverse.

Primitive uzuale: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C.

Metode de integrare: integrarea prin părți (∫f·g' = f·g − ∫f'·g), utilă pentru produse ca x·eˣ, și schimbarea de variabilă (substituția), care inversează regula de derivare a funcției compuse.

Integrala definită ∫ₐᵇ f(x)dx se calculează cu formula Leibniz–Newton: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), unde F este o primitivă a lui f. De exemplu, ∫₀¹ x² dx = 1³/3 − 0 = 1/3.

Proprietăți: integrala este liniară (∫(αf + βg) = α∫f + β∫g), aditivă față de interval (∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ) și păstrează inegalitățile: dacă f ≤ g pe [a, b], atunci ∫f ≤ ∫g.

Pentru o funcție continuă și pozitivă, integrala definită reprezintă aria de sub grafic, între axa Ox și dreptele x = a și x = b. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive (teorema fundamentală a calculului integral).

Aria subgraficului unei funcții continue și pozitive f pe [a, b] este A = ∫ₐᵇ f(x)dx. Aria cuprinsă între graficele a două funcții f și g (cu f ≥ g) este ∫ₐᵇ (f(x) − g(x))dx.

Volumul corpului obținut prin rotirea graficului lui f în jurul axei Ox este V = π∫ₐᵇ f²(x)dx. De exemplu, rotind dreapta f(x) = r constantă pe [0, h] obținem cilindrul de volum πr²h — formula cunoscută din gimnaziu.

Dacă funcția își schimbă semnul, aria reală se calculează integrând modulul funcției, adică separând intervalele unde f este pozitivă de cele unde este negativă.

O lege de compoziție internă pe o mulțime M asociază fiecărei perechi (x, y) un element x ∗ y din M. Proprietăți posibile: asociativitate, comutativitate, element neutru e (x ∗ e = x) și elemente simetrizabile (x ∗ x' = e).

Un grup (G, ∗) este o mulțime cu o lege asociativă, cu element neutru, în care orice element are un simetric. Dacă legea este și comutativă, grupul se numește abelian. Exemple: (Z, +), (R*, ·), (Zₙ, +) — clasele de resturi modulo n.

Un morfism de grupuri f : G → H respectă operațiile: f(x ∗ y) = f(x) ∘ f(y). Dacă este și bijectiv, se numește izomorfism, iar grupurile au aceeași structură. Exemplu clasic: funcția exponențială este izomorfism între (R, +) și ((0, ∞), ·).

Un inel (A, +, ·) are două operații: (A, +) este grup abelian, înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare. Dacă înmulțirea este comutativă, inelul este comutativ. Exemple: (Z, +, ·), inelul claselor de resturi (Zₙ, +, ·) și inelele de polinoame.

Un corp este un inel comutativ cu element unitate în care orice element nenul este inversabil față de înmulțire. Exemple: (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) și (Zₚ, +, ·) pentru p număr prim.

În Zₙ calculăm „modulo n”: în Z₆, 4 + 5 = 3 (resturile la împărțirea cu 6) și 4 · 5 = 2. Aceste structuri stau la baza criptografiei moderne și a teoriei codurilor.